파이썬으로 배우는 포트폴리오 study day5
2022.11.30 - [TIL/09_QUANT] - [퀀트] 평균-분산 포트폴리오 이론 (1) 에 이어서 계속!!
평균-분산 포트폴리오 이론 2
최소분산포트폴리오
저번 편에서 구한 포트폴리오 P를 보자.
| 주식A | 주식B | 포트폴리오P | |
| 기대수익률 | 4% | 4% | 4% |
| 분산 | 0.06% | 0.54% | 0.24% |
| 표준편차 | 0.0245 | 0.0734 | 0.0490 |
동일한 수익률을 가지고 있는 두 개의 주식으로 구성된 포트폴리오 분산은 주식 A보다는 높지만 주식 B에 비해 많이 낮다.
이렇듯 포트폴리오를 구성해 같은 기대수익률하에 위험이 줄어들어 기대효용이 증가하는 것을 분산 효과 또는 포트폴리오 효과라고 한다.
- 분산 효과(diversification effect)
$$
E[u(r_A)] = E[u(r_p)]
$$
분산 효과는 두 자산의 같은 날 오르고 같은 날 떨어지면 -> 같은 방향으로 움직임 -> 분산효과 작아짐
반대로 하나는 오르고 다른 하나는 떨어지면 -> 반대 방향으로 움직임 = 상관계수 $\rho$가 -1에 가까우면 -> 분산 효과 커짐
이런 포트폴리오는 상관관계, 투자 비중에 따라 다양한 기대수익률과 위험(표준편차 또는 분산)의 조합이 만들어진다.
두 자산 A, B로 구성하는 포트폴리오 그래프를 보자.
(가로축은 위험, 세로축은 기대 수익률)
그림을 보면, 세 개의 실선이 한 점(E, D)에서 모인 후 다시 갈라지는 점선으로 바뀐 것을 확인할 수 있는데, 이는 주식 A 또는 B를 공매도하는 것이다.
E 아래 점선은 주식 A (점 D)를 공매도 하는 경우이고, 반대로 D 위의 점선은 주식 B (점 E)를 공매도하는 경우다.
공매도란?
주식을 보유하지 않은 상태에서 주식을 빌려 매도하고 나중에 주식을 구해 되갚아주는 것
그중 상관계수 $\rho = 0$인 경우 점 G 지점을 지나는데, 이 지점을 최소분산포트폴리오(Minimum Variance Portfolio, MVP) 라고 한다.
가장 위험이 적은 투자 비중 조합을 가진 포트폴리오다.
1. 상관계수가 +1 인 경우
- 포트폴리오 기대수익률과 위험은 비례적으로 증가하는 선형관계
2. 상관계수가 -1 인 경우
- 투자비율의 조정에 따라 위험이 0인 포트폴리오 구성 가능
- 기대수익률이 일정 수준으로 주어진 경우
- 개별 자산 간의 상관계수가 적을수록 위험분산 효과가 커지고 완전 음(-)의 상관관계일 때 위험은 최소
3. 상관계수가 -1에서 +1 사이인 경우
- 현실적으로 주가는 음의 상관관계보다는 양(+)의 상관관계를 움직임
- 포트폴리오의 기대수익률과 위험의 관계는 곡선형태
4. 상관관계 0인 경우
- 위험분산 효과가 있기 때문에 기대수익률과 위험의 관계는 곡선 형태
- 수익률 증가에 비해 위험이 상대적으로 적게 증가
- = 최소분산포트폴리오 G 지점을 지남
체계적 위험과 비체계적 위험
- 체계적 위험 (systematic risk)
- 모든 기업에 공통적으로 영향을 미치는 요인
- 시장 전체와 관련된 위험으로 경제변수의 불리한 움직임
- ex. 이자율, 환율, 경제정책, 코로나 ...
- 포트폴리오 위험 중 분산투자로서 감소시킬 수 없는 위험으로 분산 불가능한 위험 (diversifiable risk)
- 비체계적 위험 (unsystematic risk)
- 개별 기업에 발생하는 요인
- 개별 주식과 관련된 고유의 위험
- ex. 어닝쇼크(실적 부진), 소송, 노사분규
- 포트폴리오 위험 중 분산투자로서 제거할 수 있는 위험으로 분산 가능한 위험 (non-diversifiable risk)
체계적 위험
체계적 위험 = 회귀방정식의 기울기, 베타($\beta$)
주식시장 전체 변동에 대한 개별 종목의 변동 정도로 측정하며, 주식시장 전체 변화율과 개별 종목 변화율 간 회귀분석을 통해 측정
저번 포스팅에서 본 n개의 주식으로 구성된 포트폴리오 위험은 다음과 같다.
$$
\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j
$$
위 식에서 i = j 라면 종목이 같은 경우다.
따라서 상관계수는 $\rho_{ij} = 1$이고 $w_i w_j \sigma_i \sigma_j = w^2 \sigma^2$이다.
위 식에서 i = j 인 경우와, i $\neq$ j 인 경우를 식으로 표현하면 다음과 같다.
$$
\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n w_i^2 \sigma_i^2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j
$$
$$
= \sum_{i=1}^n w_i^2 \sigma_i^2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij}
$$
즉, 포트폴리오 위험 = (개별수익률의 분산) + (기타수익률 간의 공분산)
이때, 포트폴리오를 n개 주식에 균등하게 투자하고 있다고 할 때, 각각의 주식 투자 비중은 $\frac{1}{n}$이다.
따라서 위의 식을 다시 나타내면
$$
\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n (\frac{1}{n})^2 \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (\frac{1}{n})^2 (\frac{1}{n})^2 \sigma_{ij}
$$
$$
\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n^2} \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{n^2} \sigma_{ij}
$$
위 식에서 $1/n$을 $\sum$ 앞으로 꺼내고, \frac{(n-1)}{n}을 $\sum$ 앞으로 꺼내면
$$
\sigma_p^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\sigma_i^2}{n} + \frac{(n-1)}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\sigma_{ij}}{n(n-1)}
$$
결국 포트폴리오 위험 ($\sigma_p^2$)은 n개의 개별 주식 분산과 $n(n-1)$ 개 개별 주식 간 공분산이다.
그리고 $\frac{\sigma_i^2}{n}$ 은 달리 표현하면 분산의 평균, $\frac{\sigma_{ij}}{n(n-1)}$은 공분산의 평균이다.
즉, 포트폴리오 위험은 분산과 공분산의 평균으로 구성된 것이다.
n개 주식으로 구성된 포트폴리오는 다음으로 표현된다.
$$
\sigma_p^2 = \frac{1}{n}(\bar{\sigma_i^2} - \bar{\sigma_{ij}}) + \bar{\sigma_{ij}}
$$
그런데 n이 무한대에 가까우면 $1/n$은 0에 수렴할 것이다.
따라서 n개의 주식으로 구성된 포트폴리오는 결국
$\sigma_p^2 = \bar{\sigma_{ij}}$
즉, 포트폴리오의 구성 주식 수가 무한대로 커지면 개별 주식의 분산은 의미가 없어지고 주식 간 공분산만 남는 것이다.
무위험자산과 최적 자산배분
무위험자산(risk-free asset)이란?
- 위험이 없는 자산
- 이자율, 인플레이션 변화에도 영향을 받지 않아 미래에 현금흐름에 불확실성이 없는 자산
- 따라서, 만기가 짧아 인플레이션, 이자율 영향에 적게 받는 정부발행채권 또는 만기가 긴 10년 국공채 수익률을 사용한다.
효율적 포트폴리오
효율적 포트폴리오란?
- 지배원리를 만족시키는 포트폴리오
- 동일한 기대수익률 -> 낮은 위험(표준편차)
- 동일한 위험(표준편차) -> 높은 기대수익률
다양한 포트폴리오를 구성할 때 각 포트폴리오를 연결한 선들을 '포트폴리오 결합선'이라고 부른다.
투자기회집합 (investment opportunity set)
- 투자 가능한 포트폴리오의 기대수익률과 위험의 조합으로 구성된 집합
다음 그림의 곡선 사이 공간에 해당하는 빗금(/) 표시부분이 모두 포트폴리오들이다.
- 포트폴리오 결합선 :
호XGY - 투자기회집합 중 동일한 수익률을 갖는 포트폴리오들 중 가장 위험이 작은 포트폴리오(최소분산포트폴리오 포함)
- $A_1$이 $A_2$, $A_3$를 지배
- 그러나 호XGY는 '지배원리'를 완전히 만족시키는 효율적 포트폴리오는 아님
- 즉, 호XGY 상에는 아직 비효율적인 포트폴리오 포함
기대효용과 무차별곡선
합리적인 투자는 불확실한 위험을 피하고 자신의 기대효용을 극대화하는 것이다.
이는 무차별곡선으로 표시되는데, 아래로 볼록한(convex) 우상향 형태를 갖는 곡선일 수록 투자자가 위험회피적이라는 것을 의미한다.
여기서 '무차별'이란 차이를 느끼지 못하고 동일하다는 것을 뜻한다. 무차별한 효용 = 동일한 효용
- 위험회피성향이 강한 투자자 a는 포트폴리오 A를 선택함으로써 기대효용 극대화
- 위험회피성향이 약한 투자자 b는 포트포리오 B를 선택함으로써 기대효용 극대화
즉, 투자자 a가 b보다 상대적으로 위험을 더 싫어한다고 볼 수 있다.
또한 상대적으로 위쪽에 있는 곡선일 수록 더 높은 효용을 나타낸다.
무위험자산 + 위험자산
무위험자산 기대수익률은 $r_f$로 일정하고 분산은 '0'이며 다른 자산과의 공분산도 '0'이라고 가정한다.
위험자산 i에 $w$를 투자하고 무위험자산에 $1-w$를 투자하면, 포트폴리오 수익률은 다음과 같다.
$$
r_p = wr_i + (1-w)r_f
$$
포트폴리오 기대수익률은
$$
E(r_p) = wE(r_i) + (1-w)E(r_f) = wE(r_i) + (1-w)r_f
$$
($E(r_f) = r_f$, 기대수익률은 일정하므로)
$$
= E(r_p) = r_f + w[E(r_i) - r_f]
$$
로 정리될 수 있다.
- $r_f$ : 무위험이자율
- $E(r_i) - r_f$ : 위험프리미엄
즉, 무위험자산에 투자 비중만큼 위험프리미엄이 더해진 형태
포트폴리오 위험인 포트폴리오 수익률의 표준편차는 다음과 같다.
$$
\sigma_p = \sqrt{w^2 \sigma_i^2 + (q-w)^2\sigma_f^2 + 2w(1-w)\sigma_{if}}
$$
그런데 무위험자산의 분산과 무위험자산과 다른 자산과의 공분산은 모두 0이므로
$$
\sigma_f = \sigma_{if} = 0
$$
포트폴리오 위험은 다음과 같다.
$$
\sigma_p = \sqrt{w^2\sigma_i^2} = w\sigma_i
$$
투자비중 w :
$$
w = \frac{\sigma_p}{\sigma_i}
$$
이렇게 정리한 식을 포트폴리오 기대수익률에 대입하면
$$
E(r_p) = r_f + w[E(r_i) -r_f] = r_f + \frac{\sigma_p}{\sigma_i}[E(r_i) -r_f]
$$
$$
E(r_p) = r_f + \frac{[E(r_i) -r_f]}{\sigma_i} \sigma_p
$$
위 식은 회귀분석 기본식 $y = Ax + b$와 유사하다.
($\sigma_p = x$, $r_f = b$(y절편) , 기울기 = 위험프리미엄 라고 할 때)
즉, 무위험자산이 있는 포트폴리오 기대수익률 $E(r_p)$와 포트폴리오 위험 $O_p$ 간의 선형관계를 보여준다.
이런 관계선을 효율적 투자선이라 한다.
효율적 투자선
- 위험자산과 무위험자산의 포트폴리오 결합선
만약 위험자산 i : 기대수익률(20%), 표준편차(40%)이고, 무위험이자율 10%라 할 때
$$
E(r_p) = 10 + [\frac{20-10}{40}] \sigma_p = 10 + 0.25 \sigma_p
$$
일 것이다.
이를 그래프로 나타내면
기대수익률이 15%, 표준편차 20% 일 때 w = 0.5이다. 나머지 0.5는 무위험자산에 투자하는 것이다.
대출 포트폴리오(lending portfolio) : 무위험자산에 투자한다는 것은 예금이나 채권 등에 투자하는 방식이며 돈을 빌려주는 것이다
기대수익률 25%, 표준편차 60% 일 때 w = 1.5이다. 투자자금 100%에 투자자금 절반인 50%를 무위험자산 이자율에 빌려 투자하는 것이다.
차입포트폴리오(borrowing portfolio) :자금을 빌려 위험자산에 투자하는 포트폴리오
참고자료