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[퀀트] 블랙-리터만 모델

JJO.OYA 2022. 12. 13. 17:53

파이썬으로 배우는 포트폴리오 study day9

블랙-리터만 모델

평균-분산 모델은 분산 투자 효율성을 수학적으로 증명하긴 했지만

  1. 일부 자산에만 비중을 두므로 특정 자산에만 편중되는 문제가 있다.
  2. 기대수익률이나 위험의 측정과정에서 발생한 오차가 최적화과정에서 증폭되는 문제가 있다.
  3. 투자자가 가지고 있는 정보나 견해를 녹여낼 수 없다.

이런 문제를 해결하기 위해 블랙-리터만 모델이 나오게 되었다.
블랙-리터만 모델은 1990년 골드만 삭스(Goldman Sachs)에 근무하던 블랙(Ficher Black)과 리터만(Robert litterman)에 의해 개발된 포트폴리오 배분을 위한 수학적 모델이다.

이 모델은 '베이즈 정리'를 바탕으로 시장에 형성되어있는 시장포트폴리오비율을 기본으로 하지만 여기에 투자자의 기대를 반영하여 자산배분 비율을 결정할 수 있는 모형이다.

 

 

피셔 블랙과 블랙-리터만 모델

블랙-리터만 모델은 자산의 시장가치에 비례한 자산배분 + 기대수익률에 대한 투자자의 견해이므로 자산의 기대수익률 분포나 자산가격에 대한 예상치를 알아야 한다.

이에 통계적 최적화를 이루기 위한 3단계 단계를 설정한다.

  1. 자산 각각의 시가총액 비중을 구한다. 이를 통해 내재균형수익률을 계산
    • 시가총액 : 발행주식수 x 주식가격
    • 해당 기업의 경제적 가치
  2. 기대수익률에 대한 분석 또는 전망 설정 -> 사전분포(prior distribution)
  3. 내제균형수익률과 사전분포(투자자의 분석)를 이용해 사후분포(posterior distribution) 설정

위의 3단계를 세분했다면 계산 순서는 다음과 같다.

  1. 시장 비중, 과거 종가 데이터, 무위험이자율 등과 같은 필요한 데이터 수집
  2. 위험회피계수($\lambda$)
  3. 위험조정상수($\tau$)
  4. 균형기대수익률($\pi$)
  5. 시장 전망 반영과 결합
  6. 결합전망기대수익률($E(r)$)
  7. 최적 투자 비중

 

평균-분산 모델과 블랙-리터만 모델 비교

모델 평균-분산 모델 블랙-리터만 모델
개요 자산 간 수익률, 분산, 상관계수를 고려해 위험 대비 수익률이 최대가 되도록 배분 시장포트폴리오를 효율적 배분으로 가정하고, 투자자의 전망을 추가하는 방식
수익률 과거 자산군별 장기평균수익률을 사용 내재수익률(역최적화 이용) + 투자자 전망
표준 편차 과거 자산군별 장기표준편차를 사용 자산군별 수익률표준편차 + 전망 불확실성
목적 함수 위험조정수익률 최대화 기대수익률로 최적화하거나, 제한조건에 따라 위험조정수익률을 최대화
장점 자산 분석에 활용 자산별로 기대수익률에 투자자 전망 반영
단점 극단적 배분 문제 성과가 투자 전망에 좌우되며, 일부 자산의 시장 비중을 구하기 어려움

https://thebook.io/080227/ch05/01-02/

 

 

베이지안 확률

베이즈 확률은 일어나지 않는 일에 대한 확률을 불확실성(uncertainty)으로 보고 사건과 관련한 확률로 새롭게 일어나는 사건을 추정하는 것

베이즈 이론 공식
$$
P(H|E) = \frac{P(H) P(E|H)}{P(E)}
$$

  • $P(H|E)$ : 증거 E 가 관찰된 상황에서 가설 H가 참일 확률
  • $P(H)$ : 가설 H가 참일 확률
  • $P(E|H)$ : 가설 H가 참일 떄 증거 E가 관측될 확률
  • $P(E)$ : 증거 E가 관측될 확률

 

 

역최적화로 구하는 균형기대수익률

역최적화란 시장 포트폴리오 비중 자체에 내재하고 있는 투자자의 기대가 결합된 수익률을 역으로 유도해내는 방식이다.
블랙-리터만 모델은 CAPM(자본자산가격결정)과 마찬가지로 시가총액이 시장균형을 이룬 투자 비중이라고 가정하며 (효율적 포트폴리오) 이는 그 자체에 기대수익률이 내재되어있다는 것으로 보고 각 자산의 시가총액 비율을 이용하여 역으로 수익률을 구하는 방법이다.

이 모델의 주요 가정 중 하나는 실제 평균에 대한 사전적인 조건부 확률분포는 알려져 있지만 실제 평균은 알려져 있지 않다는 것이다.

 

 

위험회피계수($\lambda$)

위험회피계수 $\lambda$ : Risk Aversion Coefficient

  • 투자자의 위험에 대한 태도
  • 포트폴리오의 리스크 단위당 적정 초과수익 (즉, 리스크 프리미엄)
  • 위험회피계수가 클수록 무위험자산 투자 비중이 높아지고, 위험자산 투자비중은 낮아짐

$$
\lambda= \frac{r_{BM} - r_f}{\sigma_{BM}^2}
$$

  • $r_{BM}$ : 시장포트폴리오 기대수익률 또는 각 자산의 기대수익률을 시가총액 비중에 따라 가중평균한 평균수익률
  • $r_f$ : 무위험이자율 또는 무위험자산 수익률
  • $\sigma_{BM}^2$ : 시장포트폴리오 수익률 분산
  • $\lambda$는 미국시장에서는 3.07 정도로 계산한다고 알려져 있다.

$$
\sigma^2 = W_{mkt}^T \Sigma w_{mkt}
$$

CAPM : 무위험이자율과 위험프리미엄을 가정해 기대수익률 추정하지만,
블랙-리터만 모델 : 목표수익률과 무위험이자율을 이용해 위험회피계수 구함

 

 

균형기대수익률($\pi$)

$\pi$ : Implied Excess Equilibrium Return Vector

블랙-리터만 모델은 샤프의 내재수익률(CAPM으로 도출한 균형기대수익률)을 바탕으로 한다.

  • 내재수익률 : 투자자가 최적 포트폴리오에 대한 선험적인 정보를 가질 경우 이러한 정보를 근거로 얻어진 기대수익률

샤프의 내재수익률 공식은
$$
E(R_i) = r_f + \beta(E(r_m) - r_f)
$$
이었고, 베타와 공분산, 기대수익률 공식은 다음과 같았다.
$$
\beta = \frac{Cov(r_i, r^Tw_m)}{\sigma_m^2}, \pi = E(r) - r_f, \delta = \frac{E(r_m)-r_f}{\sigma_m^2}
$$
이를 위 공식에 대입해 다음과 같은 균형기대수익률을 도출할 수 있다.

$$
\pi = \lambda \Sigma w_m
$$

  • $\pi$ : 균형기대수익률 (nx1 벡터)
  • $\lambda$ : 위험회피계수(상수)
  • $\Sigma$ : 초 수익률의 공분산 행렬 (nxn 행렬)
  • $w_m$ : 시장 포트폴리오 투자비중(자본시장 시가총액 비중) 벡터 (nx1 벡터)

'시가총액 = 발행주식수 x 현재 주가'인데, 각 자산의 시가총액 합계는 전체 시장 크기가 된다. 따라서 전체 시장을 하나의 포트폴리오로 본다면 각 자산의 포트폴리오 구성 자산이다.
즉, 각 자산의 시가총액 = 포트폴리오에서 차지하는 비중

실무에서는 변형된 형태로 균형기대수익률에 무위험이자율($r_f$)을 더하기도 한다고 한다.

총내재수익률 = $\Pi + r_f$ (균형기대수익률 + 무위험이자율)

 

 

자산의 공분산 행렬($\sum$)

각 자산의 무위험수익률(또는 이자율)을 초과하는 수익률 간의 공분산을 계산한다.

자산의 공분산 행렬 = COV(자산수익률 - 무위험이자율)

 

 

자산시가총액 비중 ($w_{mkt}$)

시장 전체의 시가총액 중 각 자산이 차지하는 시가총액의 비중

자산시가총액 비중 = $\frac{자산 시가총액}{시장 시가총액 합계}$

균형기대수익률 수식에서
$$
\Pi = \lambda \Sigma w_{mkt}
$$

균형기대수익률($\Pi$)을 초과수익률($\mu$)로 바꾸고 식을 정리하면,
포트폴리오의 최적 비중을 구하는 식
$$
w = (\lambda \Sigma)^{-1} \mu
$$

자산수익률의 확률분포는 시간의 흐름에 따라 변하지 않는다는 가정하에 과거 자료를 이용한다.따라서 과거 수익률의 빈도수 분포로부터 미래 수익률의 확률분포를 알 수 있다.
반면 기대수익률은 미래에 실현될 수익률의 사전적 기대값이지만, 실무에서는 이미 실현된 수익률의 평균값을 사용하기도 한다.
기대수익률은 평균이 $\pi$이고, 분산이 $\sum$인 정규분포를 따른다.
$$
\mu ~ N(\pi, \Sigma)
$$

  • $pi$ : 기대수익률 평균 (nx1 행렬)
  • $\sum$ : 수익률 공분산(nxn 행렬)

투자자의 시장전망 반영

사전 분포에 해당하는 투자자 전망
$$
P \bullet E(r) = Q + \varepsilon, \varepsilon ~N(Q, \Omega)
$$

  • P : 투자자 전망 행렬(n개의 자산에 대한 k개의 전망, kxn 행렬)
  • E(r) : 기대수익률 (nx1 행렬)
  • Q : 투자자 전망에 대한 기대수익률 (전망 벡터 kx1 행렬)
  • $\varepsilon$ : 투자자 전망 오차항(kx1 행렬)
  • $\Omega$ : 오차항 공분산 행렬(kxk 행렬)

$$
\Omega = P(\tau \Sigma)P^T
$$

$$
E(\mu | views) = [(\tau E)^{-1} + P^T \Omega^{-1} P]^{-1}[E^{-1} \Pi + P^T \Omega{-1}Q]
$$

투자자의 전망이 확실해 오차가 없다면 = $\Omega = 0$ 이므로
$$
E(\mu | views) = \Pi + \tau \Sigma P^T[\tau P \Sigma P^T]^{-1}[Q-P \Pi]
$$